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第1篇：高一數(shù)學向量公式范文

關(guān)鍵詞： 角 余弦 數(shù)學 教學

一、教學內(nèi)容分析

本節(jié)內(nèi)容是高一數(shù)學必修4（蘇教版）第三章《三角恒等變換》第一節(jié)的內(nèi)容，重點放在兩角差的余弦公式的推導和證明上，其次是利用公式解決一些簡單的三角函數(shù)問題。

在學習本章之前，已經(jīng)學習了三角函數(shù)及向量的有關(guān)知識，從而為溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的聯(lián)系提供了重要的工具。本章我們將使用這些工具探討三角函數(shù)值的運算。本節(jié)內(nèi)容不僅是推導正弦和（差）角公式、正切和（差）角公式及倍角公式的基礎(chǔ)，對于三角變換，三角恒等式的證明，三角函數(shù)式的化簡、求值等三角問題的解決有重要的支撐作用，而且其推導過程本身就具有重要的教育價值。

二、學生學習情況分析

本節(jié)課的主要內(nèi)容是“兩角差的余弦公式的推導及證明”，用到的工具有“單位圓中三角函數(shù)的定義”和“平面向量數(shù)量積的定義及坐標表示”，都屬于基礎(chǔ)知識，內(nèi)容簡單，容易理解和接受。但是在向量法證明的過程中，向量夾角的范圍是[0，π]，與兩角差α-β的范圍不一致，學生對角的范圍說明不清，是本節(jié)課的難點。

三、設計思想

教學理念：以“研究性學習”為載體，培養(yǎng)學生自主學習、小組合作的能力。

教學原則：注重學生自主學習與探究能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)學生個性的發(fā)展與小組合作共性的融合。

教學方法：先學后教，小組合作，師生互動。

四、教學目標

知識與技能：了解用向量法推導兩角差的余弦公式的過程，掌握兩角和（差）的余弦公式并能運用公式進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值。

過程與方法：自主探究兩角差的余弦公式的表現(xiàn)形式，經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導兩角差的余弦公式的過程，并能獨立利用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化歸思想在三角變換中的作用。

情感態(tài)度與價值觀：體驗和感受數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，感悟事物之間普遍聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的關(guān)系。

五、教學重點與難點

重點：兩角差的余弦公式的推導及證明。

難點：引入向量法證明兩角差的余弦公式及兩角差范圍的說明。

六、教學程序設計1.情境創(chuàng)設，課上展示。

課前探究：

課上展示：請同學們展示一下課前所得到的結(jié)果吧。

設計意圖：課前以問題串的形式給學生指明研究方向。問題層層遞進，從特殊到一般，使學生的研究具有一定的坡度性。既讓學生容易上手，又讓學生在研究過程中慢慢深入與提高。

主要目的：讓學生自主發(fā)現(xiàn)兩角差的余弦公式的表達形式。

通過課上展示，學生把課下研究出來的成果與全班同學共享，產(chǎn)生共鳴，為進一步研究兩角差的余弦公式做好準備，同時增強表達能力及自信心。

2.合作探究，小組展示。

探究一：兩角差的余弦公式的推導

問題4：問題2中我們所得到的結(jié)論對于任意角還成立嗎？你能證明嗎？

問題5：觀察我們得到結(jié)論的形式，你能聯(lián)想到什么呢？

探究二：兩角和的余弦公式的推導

問題6：你能根據(jù)差角的余弦公式推導出和角的余弦公式嗎？

問題7：比較差角的余弦公式與和角的余弦公式，它們在結(jié)構(gòu)上有何異同點？

通過小組展示，各個小組之間產(chǎn)生思維的碰撞，迸出火花，得到新的靈感與智慧。從而培養(yǎng)學生團結(jié)協(xié)作與小組合作的能力。

3.鞏固知識，例題講解。

例1：利用兩角和與差的余弦公式證明下列誘導公式：

例3：化簡cos100°cos40°+sin80°sin40°

設計意圖：教師對各小組展示內(nèi)容做適當點評，并且對“向量法證明的優(yōu)點”，“向量法證明過程的完善”，“向量法中向量夾角與兩角差的范圍的統(tǒng)一”做簡要講解。

例1，例2都是公式的直接應用。例1讓學生體會誘導公式將余弦的和差角公式推導出正弦的和差角公式，為下節(jié)課埋下伏筆。例2中根據(jù)cos15°的值求sin15°的值，tan15°的值的過程都是為推導正弦和差公式，正切和差公式做鋪墊。

變式將例2中具體的角變成抽象的角，利用同角三角函數(shù)公式求解。在由sinα的值求cosα的值或由cosβ的值求sinβ的值時，要注意根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號。

例3：是公式的逆用，培養(yǎng)學生逆向思維的能力，讓學生對公式結(jié)構(gòu)再認識。

4.提升總結(jié)，鞏固練習。

提升總結(jié)：針對上面的3個例題，談談你學到了什么？

（2）利用兩角和差的余弦公式求值時，應注意觀察、分析題設和公式的結(jié)構(gòu)特點，從整體上把握公式，靈活的運用公式。

（3）在解題過程中，要注意角的范圍，確定三角函數(shù)值的符號，以防增根、漏根。

設計意圖：主要以學生總結(jié)為主，老師做適當點評及補充。

七、教學反思

第2篇：高一數(shù)學向量公式范文

【關(guān)鍵詞】基前提后；空間想象；靈活；融會貫通

工作近兩年來，我先后教了兩批高一，教材都是一樣的，但是面對不同的學生，教法卻有所不同.職業(yè)學校的學生生源不是很好，都是擠不進普高門的一些學生，這一批學生基礎(chǔ)不是很好，明顯沒有以前的學生接受能力強，而且學習習慣也不是很好，從而導致學習成績不佳，以致對學習失去了信心，自然也就學不好.現(xiàn)對高一數(shù)學教學中的注意點歸納如下：

一、引入新內(nèi)容，基礎(chǔ)在前，提高在后

在教材中，我們引入了有理指數(shù)冪的運算及指數(shù)式與根式的互化，這些內(nèi)容在冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)中都能應用到；式的運算中介紹了新公式——立方公式，初中舊知識完全平方公式及其平方差公式，在一些解答題中都需要應用這些知識；在第一章引入集合這個新概念，為后面的函數(shù)學習打下基礎(chǔ)，如集合的表示形式在以后的定義域及值域表示中都有所應用，集合的運算在求定義域等方面起到關(guān)鍵作用.因此，在基礎(chǔ)部分，我們要把知識理清楚，為后面更好地學習新知識打下堅實的基礎(chǔ)，否則就如空中樓閣，站不住腳.

從集合開始，后面的函數(shù)分三塊：函數(shù)的基本概念、函數(shù)性質(zhì)及其應用、三角函數(shù).在函數(shù)的概念中著重函數(shù)的定義域和值域；函數(shù)性質(zhì)中著重指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的奇偶性；三角函數(shù)主要將三角與函數(shù)聯(lián)系起來，既要熟記公式，又要討論它們的性質(zhì)，并會進行一些簡單的應用.函數(shù)向來是高中數(shù)學中的重點，但是學生由于在初中學得不是很好，有一定的畏懼感，對新概念理解不是很透徹，所以很多學生光會記公式，但不知道如何應用及哪些地方要用到這些公式.在教學過程中要適當?shù)匾霐?shù)形結(jié)合的思想，在圖形展示后自覺地找到解題的方法.在學習的過程中要多看多練多總結(jié).從概念開始，后面的學習對于學生來說是越來越難，如果在前面部分沒有打好基礎(chǔ)，那么在以后的學習中學生就會越學越?jīng)]信心，最終放棄學習.在基礎(chǔ)部分要多做工作，打好基礎(chǔ)，在提高部分的學習中要抓住重點，提高效率，精講精練.對一些經(jīng)典題型要掌握其解題要領(lǐng)，必要時需將解題步驟一一列舉，加上相應的題目進行理解總結(jié).

二、立體幾何對學生空間想象能力有較高的要求

在學習立幾時，明顯感覺到學生聽得云里霧里的，就只有老師一個人在講臺上唱獨角戲，學生思維形式單一，有點思維定式，想問題不是很全面.在傳授一些定理性質(zhì)時我盡量多拿教室做模型、打比方，或者讓學生自己學著做模型，自己感受其中的空間感，讓學生在教室中感覺到其中的一些關(guān)系等，但是學生不是很領(lǐng)情，依然我行我素，想不到教室里這么多模型擺在眼前，更談不上應用了.因此，我們在教學中鼓勵學生自己做模型，有的同學用廢紙卷成線，或者有些同學從飯店要了些一次性筷子做模型，等等，在制作模型的過程中感受其中的關(guān)系，同時又促進學生團結(jié)合作.在三視圖畫圖部分給出具體的做法和步驟，但是學生左耳進右耳出，聽得不認真，又比較懶，不做筆記，布置的作業(yè)也是講過后把答案做好才行，不是很喜歡動腦子，都等現(xiàn)成的.懶惰導致學生成績不斷下降，進而對數(shù)學失去興趣.因此須要成立小組，由小組長來督促組員完成布置的任務.在立體幾何中應多找些模型，讓學生切身體會一下，有時間還應讓學生自己制作一些模型，供大家使用.多練習一些題目，多想想練練，相信會有所提高.在一些典型的問題上對其解題步驟進行詳細說明.如求直線與平面所成的角，首先要確定直線與平面的交點即斜足，然后找平面的垂線，且垂線與直線有交點，垂足和斜足的連線即為直線在平面內(nèi)的射影，則直線與射影所成的角即為直線與平面所成的角，求角時將其放于直角三角形內(nèi).區(qū)分幾種角的求法、距離的求法等.學會證明一些平行或垂直的關(guān)系.這些在立幾題中很常見，內(nèi)容學習結(jié)束后，還應對一些綜合題進行訓練和學習，并進行相應的總結(jié)和歸納.

三、活學活用，融會貫通

第3篇：高一數(shù)學向量公式范文

數(shù)學教學中"引導學生學會學習"的教學策略肖淑如

從課例看數(shù)學方法的引入教學王智明

觀察、分析、探索--從一道習題的教學看學生的能力培養(yǎng)歐陽雪山

優(yōu)化思維品質(zhì)培養(yǎng)運算能力徐繼繼

高中數(shù)學第五章《向量》教學目標初探中學數(shù)學研究 徐元根

關(guān)于高中數(shù)學新教材第一冊(上)(試驗修訂本)的幾點意見與建議任禮兵，尹廣金

關(guān)聯(lián)四個不等式的一個幾何"鏈"李建潮

三個幾何不等式的討論宋慶，王慶龍

一個十分有用的恒等式賈士代

內(nèi)莫萊三角形的又一組對偶性質(zhì)劉立春

構(gòu)造函數(shù)的幾種方法周睿

一道高考題結(jié)論的推廣及應用王興林

一組三角恒等式的復數(shù)證法及應用鄒九生

淺談數(shù)學解題中的整合策略劉偉忠

關(guān)于一道最值題的多向思考任貴海，可潤娥

不等式證明中易犯錯誤例析方精忠

創(chuàng)設有效引入情境打造高效數(shù)學課堂吳佑華

數(shù)學課堂語言運用淺談李芹，張子路

用批判性思維來創(chuàng)新設計教學任方成

對一組條件不等式的解答、修正與推廣劉才華，王長憲

一個優(yōu)美不等式的簡證與再推廣中學數(shù)學研究 徐彥輝

分式不等式中幾個美麗的姐妹花田富德

三角形面積比的一個定理及其推論毛浙東

一組優(yōu)美的加權(quán)不等式之統(tǒng)一與簡證李馴洪

橢圓內(nèi)接三角形一個性質(zhì)的簡證及推廣王伯龍

一道課本習題的探究及有趣結(jié)論的發(fā)現(xiàn)林金來

創(chuàng)新題因創(chuàng)造性解法而精彩——兩道"存在型"高考創(chuàng)新題的解法探討鄒生書，劉江波

中檔題的思路突破朱宗芳

高考題中的一類定值、定點問題的求解方法夏錦

培養(yǎng)思維策略活用數(shù)形結(jié)合——以2009年浙江高考數(shù)學(文)22題為例徐颯

用基本量方法破解平面幾何問題吳濤

聚焦構(gòu)造法在立體幾何中的運用康小峰

一道高考題的探究性學習姜軍

探究一道高考選擇題鄧贊武，章勇

解讀簡易邏輯易錯點張得南

四類易混淆的"對稱問題"白煥，馬文杰

錯在哪里楊劍

一道IMO試題的類比拓廣及簡解薛相林

一道聯(lián)賽預賽題的二種解法胡生淼

目標分類學視角下的一類培養(yǎng)學生評價能力的代數(shù)題董濤

新課程理念下"學生數(shù)學活動"的有效教學問題與思考殷偉康

中學數(shù)學課堂教學效能課題研究中學數(shù)學研究 孫迪青

對新課程理念下數(shù)學思想方法教學的幾點思考高美玲，趙榮夫

初高中數(shù)學教學銜接中的問題與對策楊垣紅

"不等式選講"一道例題的教學設計陸建根

一個猜想的推廣和證明谷煥春

一個不等式猜測的完善及證明鄒生書，尹顯模

定點張定圓上兩點向量內(nèi)積的取值范圍李世臣

橢圓離心率的背景探求鄢旭春

一道摸底試題的探究邱禮明

一道高考試題的探究及其背景吳軍

管中窺豹洞若觀火——與數(shù)列有關(guān)的不定方程的整數(shù)解問題初探林偉民

一類無理函數(shù)的值域求法再探討馬先亮

一個不等式的又一個簡捷證明王耀輝

構(gòu)造單位圓及其切線巧妙解題的若干范例陳明娟HtTp://

整體代換法證分式不等式例說陳秀群，姜坤崇

平面向量與三角形的"心"楊海生

求二次曲線中的直線斜率分類解析陳華安

構(gòu)造雙曲線解題黃俊峰，袁方程

淺析解幾最值問題朱冬平，徐益萍

例析函數(shù)不等式的求導處理及對策楊利剛

一道概率題的拓展與證明鮑瑞華

一道全俄《2008-應屆中學生》奧林匹克試題別解陳玉奇，陳宇

淺談數(shù)學概念教學中思維品質(zhì)的培養(yǎng)陸潔清

緊抓要點,實現(xiàn)數(shù)學課堂的有效教學李文斌

四"度"高中數(shù)學新教材陳敏

為什么高一數(shù)學這么難學?王純旭

一個不等式猜想的證明及推廣周斌

一個漂亮不等式的再推廣徐娜，陳宇

關(guān)于三角形中圓的幾個等式與不等式馮仕虎

兩道不等式習題的比較研究有名輝

一個分式不等式的變式與再推廣王增強

阿基米德三角形初探殷加興

對二次曲線"焦弦定理"的商榷及其幾何證明中學數(shù)學研究 耿合眾

運用辯證思想提升解題素養(yǎng)邵賢虎

巧用定比分點解決代數(shù)問題劉瑜，張光榮

數(shù)學中的減元策略探究朱勝強

例談函數(shù)解析式求解的類型與方法程澤兵

高考中函數(shù)最值的應用熊志遠

從一道全國高考題看不等式f(x,a)》0對x∈A有實數(shù)解求a取值范圍問題的解法孫志祥

從09年四川高考理22題看不等式恒成立問題的解法熊福州，張玉彬

不等式證明在數(shù)列中的應用鄧國平

導數(shù)與數(shù)列型不等式的整合林明成，姚智銘

一道數(shù)學題的探究、歸納與應用——平面直角坐標系中的平行四邊形陳英逢

運用逆代法簡求圓錐曲線切線方程方冬金

集合題型常見錯誤例析牛永紅，李生坪

一道習題引發(fā)的探究吳海燕

新課程背景下初中數(shù)學課堂教學的實效性探索王俊

一個漂亮不等式的推廣何智

由點的位置引發(fā)的探究黃漢橋，蔡青

一組比值為離心率的有趣性質(zhì)林佩芬

由一道高考題引出的圓錐曲線的一個有趣性質(zhì)杜飛飛

高考試題中的高等數(shù)學背景探析及應對策略黃妮，李娟，梁艷，彭家寅

"兩邊夾逼"策略助你突破思維瓶頸阮士杏，鄒生書

一道新課標高考題的教學思考王莉娟，厲倩

一節(jié)習題課"意外"引發(fā)的思考邵賢虎

共面向量定理的推論及運用石亮

一道模擬試題的幾何背景及推廣中學數(shù)學研究 劉吉存

直線上兩點間距離公式的應用舉例劉凡俊，李登有

一道不等量的幾何問題及其引申應用張秀昌

一道排列組合題的拓展黃俊峰，袁方程

即學即考型中考試題賞析劉鑫

走出"一題多解"教學的三個誤區(qū)阮偉強

第4篇：高一數(shù)學向量公式范文

一、注重理解數(shù)學符號的意義

從客觀上看，數(shù)學中大量的概念、公理、定理、法則等等是由符號來表示的。概念、公理、定理、法則等本身就是從眾多規(guī)律、現(xiàn)象中概括總結(jié)出來的，勢必會很抽象，而符號又是這些概念、定理的外在的表現(xiàn)形式，因此從某種意義上說更加抽象。要使學生能夠接受并理解這種高度抽象性的符號，教學時就必須采用生動有趣、通俗易懂的語言，從具體的描述性語言開始，逐步抽象成比較簡約的語言。讓學生認識數(shù)學研究中引進符號的必要性和優(yōu)越性，理解數(shù)學概念及其符號表示，明確符號的條件，熟練掌握符號變換的規(guī)則。理解數(shù)學符號的意義需要經(jīng)歷從具體到抽象，再從抽象到具體的認識過程。

1.使學生經(jīng)歷概念的符號化過程，促進學生認識引進符號的必要性和優(yōu)越性

我們知道數(shù)學符號的學習需要一個漸進的過程，使學生在經(jīng)歷概念的符號化過程中逐步感受引進符號的必要性和優(yōu)越性，首先，讓學生從心理上去接受數(shù)學符號；其次，從大量的具體的數(shù)字開始，逐步抽象概括為用字母表示，幫助學生完成從感性到理性的過渡，這可以有效地減少學生接受的困難程度。

2.重視對比、辨析，促使學生認識數(shù)學符號的本質(zhì)

要引導學生將新的數(shù)學符號與相關(guān)的舊知識進行對比，分析它們的聯(lián)系與區(qū)別。

3.注意數(shù)學符號的隱含意義

由于數(shù)學符號常常與特定概念聯(lián)系在一起，是概念的形式化表征，往往具有一定的使用條件，要引導學生注意數(shù)學符號的隱含意義。

4.注意某些數(shù)學符號的多義性

在數(shù)學的歷史發(fā)展的過程中，某些數(shù)學符號被賦予了許多意義，如果不準確理解和判斷其本質(zhì)含義，就會出現(xiàn)推理和證明上的混亂。例如，有序數(shù)對（a，b）就是具有多義性的一種數(shù)學符號，它可以表示直角坐標系中的一個點，也可以表示一個向量的坐標，還可以表示一個開區(qū)間，初中還用它來表示a，b的最大公約數(shù)。

5.使用大量豐富的背景材料促使學生理解數(shù)學符號的內(nèi)涵

對數(shù)學符號內(nèi)涵的理解，就是要建立簡約化的數(shù)學符號與其所表征的數(shù)學內(nèi)容的聯(lián)系。在其中我們既要注意概念與實際對象的聯(lián)系，又要注意概念與相應符號的聯(lián)系，引導學生理解每個符號的含義與實質(zhì)。

二.數(shù)學符號的掌握需要一個長期滲透與使用的過程

1.注意后續(xù)的掌握需要一個長期滲透與使用的過程

學生在學習了數(shù)學符號后，即使當時已經(jīng)理解了符號的含

義，若在后續(xù)學習中長期不加使用，就會逐漸淡忘數(shù)學符號的含義。比如對數(shù)符號及其運算公式，特別是常用對數(shù)與自然對數(shù)符號更容易忘記。還有些數(shù)學符號的內(nèi)涵理解需要在后續(xù)的學習與練習中去反復強化，要引導學生把符號與其所表征的內(nèi)涵緊密聯(lián)系在一起，提升對符號的整體認識。

2.在后續(xù)學習中注意實現(xiàn)符號語言與自然語言的互譯

用符號化的語言表達問題，對正確理解題意、理清解題思路、進行思維推理非常重要。使用數(shù)學符號語言可使數(shù)學思想的表述與交流更方便，同時也可使問題的實質(zhì)得到揭示。這里包括兩個方面的問題：①將自然語言改用符號語言來表示，例如，自然語言“函數(shù)f（x）是個偶函數(shù)”可用符號語言表示為“f（x）=f（-x）”；自然語言“y=f（x）的圖象恒在直線y=kx+1上方”可用符號語言表示為

“f（x）>kx+1恒成立”；自然語言“函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）交于點A（x1，y1）”可用符號語言表示為“f（x）=g（x）”等等。②需要在數(shù)學教學中反復將符號還原為其原來的含義。例如，符號“f（2-x）=f（2+x）”的含義是函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=2成軸對稱；f（a）f（b）

第5篇：高一數(shù)學向量公式范文

關(guān)鍵詞 承載力；生態(tài)承載力；可持續(xù)發(fā)展

中圖分類號 F062.2

文獻標識碼

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生態(tài)環(huán)境是人類生存和發(fā)展的基本條件，是經(jīng)濟、社會發(fā)展的基礎(chǔ)。20世紀以來，隨著科學技術(shù)的進步和社會生產(chǎn)力的發(fā)展，人類開發(fā)利用自然資源的能力空前提高。一方面，人類創(chuàng)造了前所未有的物質(zhì)財富，促進了社會經(jīng)濟的進步和繁榮；然而另一方面，人類對生態(tài)環(huán)境的壓力越來越大，人口劇增、資源過度消耗、環(huán)境污染和生態(tài)破壞等問題已成為威脅人類生存和發(fā)展的全球性問題。這些問題的出現(xiàn)引起了人們對資源消耗與供給能力、生態(tài)破壞與可持續(xù)問題的思考。綜合分析，生態(tài)破壞的明顯特點是生態(tài)系統(tǒng)的完整性遭到損害，從而使生存于生態(tài)系統(tǒng)之內(nèi)的人和各種動植物面臨生存危險。為此，許多科學家呼吁，保持生態(tài)系統(tǒng)的完整性，控制人類的活動在生態(tài)系統(tǒng)承載力范圍之內(nèi)，是實現(xiàn)系統(tǒng)與區(qū)域可持續(xù)發(fā)展的最基本和首要條件。于是許多學者從系統(tǒng)的整合性出發(fā)，提出了生態(tài)承載力的概念，認為只要人類對自然系統(tǒng)的壓力處于地球生態(tài)系統(tǒng)的承載力范圍內(nèi)，地球生態(tài)系統(tǒng)就是安全的、人類經(jīng)濟社會的發(fā)展就處于可持續(xù)的范圍內(nèi)。

承載力最初被引進區(qū)域系統(tǒng)是在生態(tài)學中的應用，其含義是在某種環(huán)境條件下，某種生物個體可存活的最大數(shù)量的潛力[1]，在實踐中的最初應用領(lǐng)域是畜牧業(yè)。隨著人地矛盾不斷加劇，承載力概念發(fā)展并應用到自然――社會系統(tǒng)中，提出了土地資源承載力概念，即在一定生產(chǎn)條件下土地資源的生產(chǎn)力和一定生活水平下所承載的人口限度。70年代以后，人口、經(jīng)濟、資源與環(huán)境等全球性問題日益突出，人口承載力、資源承載力、環(huán)境承載力、水資源承載力、礦產(chǎn)資源承載力的研究也應運而生。1986年，Catton定義了“環(huán)境承載力”的概念，后來國外很多學者把它引申為生態(tài)承載力并定義為“在一定區(qū)域內(nèi)，在不損害該區(qū)域環(huán)境的情況下，所能承載的人類最大負荷量”。90年代初，加拿大生態(tài)經(jīng)濟學家William和Wackernagel提出“生態(tài)足跡”(Ecological Footprint)的概念，使承載力的研究從生態(tài)系統(tǒng)中的單一要素轉(zhuǎn)向整個生態(tài)系統(tǒng)[2-3]。與此同時國外對于生態(tài)承載力的研究，也逐漸從靜態(tài)轉(zhuǎn)向動態(tài)，從定性轉(zhuǎn)為定量，從單一要素轉(zhuǎn)向多要素乃至整個生態(tài)系統(tǒng)，對于生態(tài)承載力的概念也日趨完善。我國在總結(jié)吸收國外經(jīng)驗教訓的基礎(chǔ)上對承載力進行了研究。任美鍔先生是我國最早注意到承載力研究重要性的學者。在40年代末任美鍔先生通過對四川省農(nóng)作物生產(chǎn)力分布的地理研究，首先計算了以農(nóng)業(yè)生產(chǎn)力為基礎(chǔ)的土地承載力。1986年中科院綜考會等多家科研單位聯(lián)合開展的“中國土地生產(chǎn)潛力及人口承載量研究”是我國迄今為止進行得最全面的土地承載力方面的研究[4]。隨著研究的深入，80年代末，我國承載力研究大多不再局限于某一種資源，而是更強調(diào)綜合性，如資源與環(huán)境綜合承載力、地理環(huán)境人口承載潛力、生存空間的人口承載力、區(qū)域承載力等。近年來，關(guān)于生態(tài)承載力的量化方法的研究日益興旺，提出了一系列觀點，主要研究者為王家驥和高吉喜[5-6]，主要成果為黑河流域生態(tài)承載力的研究。承載力概念的演化與發(fā)展，體現(xiàn)了人類社會對自然界的認識不斷深化，在不同的發(fā)展階段和不同的資源條件下，產(chǎn)生了不同的承載力概念和相應的承載力理論。

1 概念與內(nèi)涵

在環(huán)境污染蔓延全球、資源短缺和生態(tài)環(huán)境不斷惡化的情況下，科學家相繼提出了資源承載力、環(huán)境承載力、生態(tài)承載力等概念。資源承載力是基礎(chǔ)、環(huán)境承載力是關(guān)鍵、核心，生態(tài)承載力是綜合[7]。

1.1 資源承載力

資源承載力是指一個國家或地區(qū)資源的數(shù)量和質(zhì)量，對該空間內(nèi)人口的基本生存和發(fā)展的支撐能力。資源承載力是一個相對客觀的量。目前有關(guān)資源承載力的研究主要集中在自然資源領(lǐng)域，其中土地資源承載力的研究歷史較長，取得的成果也較多。同時由于不同的側(cè)重點和對象，出現(xiàn)了水資源承載力、森林資源承載力等的多種承載力[8]。①土地資源承載力。土地承載力是近20年來資源、人口、生態(tài)環(huán)境等許多領(lǐng)域的熱點問題[9]。它是繼60～70年代能源危機、糧食短缺以及人炸等人類面臨的重大問題提出之后，所開展的一項務實的研究工作。中國科學院綜考會為土地資源承載力所下的定義是“在一定生產(chǎn)條件下土地資源的生產(chǎn)力和一定生活平下所承載的人口限度”[10]。②水資源承載力。自20世紀80年代末以來，許多專家、學者或課題研究組織對水資源承載力概念予以定義。一般認為：水資源承載力是在特定的歷史發(fā)展階段，以可持續(xù)發(fā)展為原則，以維護生態(tài)良性發(fā)展為條件，以可預見的技術(shù)、經(jīng)濟和社會發(fā)展水平為依據(jù)，在水資源得到適度開發(fā)并經(jīng)優(yōu)化配置的前提下，區(qū)域(或流域)水資源系統(tǒng)對當?shù)厝丝诤蜕鐣?jīng)濟發(fā)展的最大支持能力[11]。也有的將其定義為在一定的技術(shù)經(jīng)濟水平和社會生產(chǎn)條件下，水資源可最大供給工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、人民生活和生態(tài)環(huán)境保護用水的能力[12-13]。對于水資源承載力，必須強調(diào)水資源對社會經(jīng)濟和環(huán)境的支撐能力。它的主要涵義和內(nèi)容有：第一，強調(diào)水資源承載力是水資源對生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)良性發(fā)展的支持能力；第二，強調(diào)生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)的良性發(fā)展；第三，強調(diào)合適的管理技術(shù)，將水資源承載力的合理配置等技術(shù)方面的問題，上升到管理的角度和層次[14]。③森林承載力。森林承載力的理論研究和實踐應用都始于20世紀90年代初，目前尚處于探索階段，它的研究是資源承載力研究的深入和發(fā)展。森林資源承載力研究是協(xié)調(diào)人口、環(huán)境保護，森林資源消耗與經(jīng)濟社會發(fā)展的關(guān)鍵。森林資源承載力是指在某一時期，某種狀態(tài)下，一個國家或地區(qū)的森林資源在保證其生態(tài)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和功能不受破壞所能承受人類活動作用的閾值[15]。吳靜和采用的是森林資源承載能力的概念，并將其定義為：“森林資源承載能力是指在一定生產(chǎn)條件下森林資源的生產(chǎn)能力及其在一定生活水平下可以承載的人口數(shù)量[16]?！?④相對資源承載力。相對資源承載力由土地承載力擴展而成，它將資源劃分為自然資源、經(jīng)濟資源和社會資源，考慮到人是社會系統(tǒng)的主要組成因子，是承載力的承載對象。因此，相對資源承載力即是將自然資源和經(jīng)濟資源作為主要的承載資源，以一個參照區(qū)域作為對比標準，根據(jù)參照區(qū)域的人均資源的擁有量或消費量、研究區(qū)域的資源存量，計算出研究區(qū)域的自然資源和經(jīng)濟資源的承載能力[17]。

1.2 環(huán)境承載力

環(huán)境承載力從廣義上講，指某一區(qū)域的環(huán)境對人口增長和經(jīng)濟發(fā)展的承載能力。從狹義上講，即為環(huán)境容量。關(guān)于環(huán)境承載力目前大致主要有3種定義方式：①從“容量”角度的定義，環(huán)境容量是指環(huán)境系統(tǒng)對外界其它系統(tǒng)污染的最大允許承受量或負荷量。主要包括大氣環(huán)境容量、水環(huán)境容量等[18]。環(huán)境容量具有客觀性、相對性和確定性的特征。如高吉喜[5]在《可持續(xù)發(fā)展理論探索》一書中指出“環(huán)境承載力是指在一定生活水平和環(huán)境質(zhì)量要求下，在不超出生態(tài)系統(tǒng)彈性限度條件下環(huán)境子系統(tǒng)所能承納的污染物數(shù)量，以及可支撐的經(jīng)濟規(guī)模與相應人口數(shù)量”。②從“閾值”角度的定義，如“環(huán)境承載力是指在某一時期，某種環(huán)境狀況下，某一區(qū)域環(huán)境對人類社會經(jīng)濟活動的支持能力的閾值[19]”。中國大百科全書[20]中，環(huán)境承載力的定義是“在維持環(huán)境系統(tǒng)功能與結(jié)構(gòu)不發(fā)生變化的前提下，整個地球生物圈或某一區(qū)域所能承受的人類作用在規(guī)模、強度和速度上的限值”；郭秀銳等[21]學者認為“環(huán)境承載力是指在一定時期、一定狀態(tài)或條件下，一定環(huán)境系統(tǒng)所能承受的生物和人文系統(tǒng)正常運行的最大支持閾值”。它不僅體現(xiàn)了環(huán)境系統(tǒng)資源的價值，而且還突出了環(huán)境系統(tǒng)與生物和人文系統(tǒng)間的密切作用關(guān)系。環(huán)境承載力具有客觀性、相對性、可調(diào)性和隨機性的特征。③從“能力”角度的定義，彭再德[22]等學者將環(huán)境承載力定義為：“在一定的時期和一定區(qū)域范圍內(nèi)，在維持區(qū)域環(huán)境系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不發(fā)生質(zhì)的改變，區(qū)域環(huán)境功能不朝惡性方向轉(zhuǎn)變的條件下，區(qū)域環(huán)境系統(tǒng)所能承受的人類各種社會經(jīng)濟活動的能力”；Schneider[23]強調(diào)，“環(huán)境承載力是自然或人造環(huán)境系統(tǒng)在不會遭到嚴重退化的前提下，對人口增長的容納能力”。環(huán)境承載力與環(huán)境容量有所不同。環(huán)境承載力強調(diào)的是環(huán)境系統(tǒng)資源對其中生物和人文系統(tǒng)活動的支撐能力，突出的是其量化測度；而環(huán)境容量則強調(diào)的是環(huán)境系統(tǒng)要素對其中生物和人文系統(tǒng)排污的容納能力，突出的是其質(zhì)地衡量。環(huán)境容量側(cè)重體現(xiàn)和反映環(huán)境系統(tǒng)的純自然屬性；而環(huán)境承載力則突出顯示和說明環(huán)境系統(tǒng)的綜合功能(生物、人文與環(huán)境的復合)[24]。

1.3 生態(tài)承載力

高吉喜[25]在研究黑河流域生態(tài)承載力時將生態(tài)承載力定義為：生態(tài)系統(tǒng)的自我維持、自我調(diào)節(jié)能力，資源與環(huán)境子系統(tǒng)的供容能力及其可維育的社會經(jīng)濟活動強度和具有一定生活水平的人口數(shù)量；并指出資源承載力是生態(tài)承載力的基礎(chǔ)條件，環(huán)境承載力是生態(tài)承載力的約束條件，生態(tài)彈性力是生態(tài)承載力的支持條件。對于某一區(qū)域，生態(tài)承載力強調(diào)的是系統(tǒng)的承載功能，而突出的是對人類活動的承載能力，其內(nèi)容應包括資源子系統(tǒng)、環(huán)境子系統(tǒng)和社會子系統(tǒng)，生態(tài)系統(tǒng)的承載力要素應包含資源要素、環(huán)境要素及社會要素。所以，某一區(qū)域的生態(tài)承載力概念，是某一時期某一地域某一特定的生態(tài)系統(tǒng)，在確保資源的合理開發(fā)利用和生態(tài)環(huán)境兩性循環(huán)發(fā)展的條件下，可持續(xù)承載人口數(shù)量、經(jīng)濟強度及社會總量的能力[26]。張傳國[27]在“干旱區(qū)綠洲系統(tǒng)生態(tài)――生產(chǎn)――生活承載力相互作用的驅(qū)動機制分析”一文中，則認為綠洲生態(tài)承載力是指綠洲生態(tài)系統(tǒng)自我維持、自我調(diào)節(jié)能力，在不危害綠洲生態(tài)系統(tǒng)的前提下的資源與環(huán)境的承載能力以及由資源和環(huán)境承載力所決定的系統(tǒng)本身表現(xiàn)出來的彈性力大小，通過資源承載力、環(huán)境承載力和生態(tài)系統(tǒng)的彈性力來反映。程國棟[28]在對西北水資源承載力進行研究時認為：生態(tài)承載力是指生態(tài)系統(tǒng)所提供的資源和環(huán)境對人類社會系統(tǒng)良性發(fā)展的一種支持能力，由于人類社會系統(tǒng)和生態(tài)系統(tǒng)都是一種自組織的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，二者之間存在緊密的相互聯(lián)系，相互影響和相互作用，因此，生態(tài)承載力研究的對象是生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)，研究其中所有組分的和諧共存關(guān)系。王家驥[6]先生認為生態(tài)承載力是自然體系維持和調(diào)節(jié)系統(tǒng)的能力的閾值。超過這個閾值，自然體系將失去維持平衡的能力，遭到摧殘或歸于毀滅，由高一級的自然體系(如綠洲)降為低一級的自然體系(如荒漠)。生態(tài)承載力僅僅體現(xiàn)在生態(tài)系統(tǒng)的支持層，方創(chuàng)琳等綜合表現(xiàn)層的生產(chǎn)承載力和生活承載力，發(fā)展了生態(tài)――生產(chǎn)――生活系統(tǒng)承載力(三生承載力)。三生承載力是指區(qū)域資源與生態(tài)環(huán)境的供容能力、經(jīng)濟活動能力和滿足一定生活水平人口數(shù)量的社會發(fā)展能力的有機綜合體[29]。

2 估算方法

對于承載力的量化，國內(nèi)外提出了許多直觀的、較易操作的定量評價方法及模式。

2.1 生態(tài)足跡法

生態(tài)足跡分析法(Ecological footprint analysis)是1992年加拿大生態(tài)經(jīng)濟學家william Rees和其博士生wackernagel提出的一種度量可持續(xù)發(fā)展程度的生物物理方法，即基于土地面積的量化指標。將其定義為：任何已知人口的生態(tài)足跡是生產(chǎn)這些人口所消費的所有資源和吸納這些人口所產(chǎn)生的所有廢棄物所需要的生物生產(chǎn)土地的總面積和水資源量。生態(tài)足跡分析法從需求面計算生態(tài)足跡的大小，從供給面計算生態(tài)承載力的大小，經(jīng)對二者的比較，評價研究對象的可持續(xù)發(fā)展狀況。生態(tài)足跡計算模型：任何個人或區(qū)域人口的生態(tài)足跡，應該是生產(chǎn)這些人口所消費的所有資源和吸納這些人口所產(chǎn)生的廢棄物而需要的生態(tài)生產(chǎn)性土地的面積總和[30]。在計算中，不同的資源和能源消費類型均被折算為耕地、草地、林地、建筑用地、化石燃料用地和水域六種生物生產(chǎn)土地面積類型(這六種土地類型在空間上被假設是互斥的)?？紤]到六類土地面積的生態(tài)生產(chǎn)力不同，因此將計算得到的各類土地面積乘以一個均衡因子。生態(tài)足跡法從一個全新的角度考慮人類及其發(fā)展與生態(tài)環(huán)境的關(guān)系，通過跟蹤區(qū)域能源與資源消費，將它們轉(zhuǎn)化為這種物質(zhì)流所必需的各種生物生產(chǎn)土地的面積，即人類的生物生產(chǎn)面積需求。在計算生態(tài)足跡的思路上，將現(xiàn)有的耕地、牧地、林地、建筑用地、海洋的面積乘以相應的均衡因子和當?shù)氐漠a(chǎn)量因子，就可以得到生態(tài)承載力。為了便于直接對比，將不同國家或地區(qū)的某類生物生產(chǎn)面積所代表的局部產(chǎn)量與世界平均產(chǎn)量的差異，即“產(chǎn)量因子”來調(diào)整。處于謹慎性考慮，在生態(tài)承載力計算時，還應扣除12%的生物多樣性保護面積。計算公式如下：

其中，i為消費商品或生產(chǎn)生物的類型；cci為第i種消費商品的生產(chǎn)足跡；aci為第i種消費商品的消費總量；pi為第i種商品的生物生產(chǎn)單位面積產(chǎn)量；epi為第i種生物資源的生產(chǎn)足跡；aei為第i種資源生物生產(chǎn)總量；wi為第i種消費品或生物資源土地類型生產(chǎn)力權(quán)值；EF為某一地區(qū)的生態(tài)足跡總量；EC為地區(qū)生態(tài)承載力供給。

生態(tài)足跡研究法是近年來提出并應用于評價生態(tài)承載力的一種新方法，得到眾多學者的肯定和采用。生態(tài)足跡的概念于1999年引入我國，楊開忠和張志強等分別介紹了生態(tài)足跡的理論、方法和概念及計算模型；徐中民等計算了甘肅省1998年的生態(tài)足跡；陳東景等分析了中國西北地區(qū)的生態(tài)足跡；張志強等對中國西部12省(區(qū))的生態(tài)足跡進行了研究分析，徐中民對張掖地區(qū)1995年的生態(tài)足跡進行研究。上述研究多側(cè)重于理論和方法的介紹，并以某一年的斷面資料進行分析，尚未進行更系統(tǒng)動態(tài)的研究。如徐中民等對張掖地區(qū)1995年的生態(tài)足跡研究結(jié)果是人均生態(tài)足跡赤字0.34hm2，但從哪一時段開始出現(xiàn)生態(tài)赤字的并未研究[31-35]。此方法直觀，簡便但多側(cè)重于理論和方法的介紹，有一定的局限性，一般以某一年或特定幾年的斷面資料進行分析，缺少系統(tǒng)動態(tài)的研究，計算中缺少處理可降解物質(zhì)的生物生產(chǎn)面積和由于水資源所造成的附加的生態(tài)足跡面積，所以計算結(jié)果是樂觀的最小值。

2.2 自然植被凈第一性生產(chǎn)力測算法

植被凈第一性生產(chǎn)力是植物自身生物學特性與外界環(huán)境因子相互作用的結(jié)果，它是評價生態(tài)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與功能特征和生物圈的人口承載力的重要指標，它反映了某一自然體系的恢復能力。地區(qū)性乃至世界性生物生產(chǎn)力及其空間分布的知識，能使人類得以從宏觀區(qū)域上作出如下估計：潛在的糧食資源的地理分布，人為提高區(qū)域性生產(chǎn)力水平的限度，不同國家和地區(qū)可能和現(xiàn)實的生產(chǎn)力水平，即區(qū)域生態(tài)系統(tǒng)的最大容納量等[36]。雖然生態(tài)承載力受眾多因素和不同時空條件制約，但是，特定生態(tài)區(qū)域內(nèi)第一性生產(chǎn)者的生產(chǎn)能力是在一個中心位置上下波動的，而這個生產(chǎn)能力是可以被測定的。同時與背景數(shù)據(jù)進行比較，偏離中心位置的某一數(shù)值可視為生態(tài)承載力的閾值，這種偏離一般是由于內(nèi)外干擾使某一自然體系變化為另一等級自然體系，如由綠洲衰退為荒漠，由荒漠改造成綠洲。因此，可以通過對自然植被凈第一性生產(chǎn)力的估測確定該區(qū)域生態(tài)承載力的指示值，而通過實測，判定現(xiàn)狀生態(tài)環(huán)境質(zhì)量偏離本底數(shù)據(jù)的程度，以此作為自然體系生態(tài)承載力的指示值，并據(jù)此確定區(qū)域的開發(fā)類型和強度。由于對各種調(diào)控因子的側(cè)重及對凈第一性生產(chǎn)力調(diào)控機理解釋的不同，世界上產(chǎn)生了很多模擬第一性生產(chǎn)力的模型，大致可分為三類：氣候統(tǒng)計模型、過程模型和光能利用率模型。我國的凈第一性生產(chǎn)力研究起步較晚，研究過程中一般采用氣候統(tǒng)計模型[37]。國內(nèi)應用較多的模型是采用周廣勝、張新時根據(jù)水熱平衡聯(lián)系方程及植物的生理生態(tài)特點建立的自然植被的凈第一性生產(chǎn)力模型，即：

式中：RDI為輻射干燥度；r為年降水量(mm)；NPP為自然植被的凈第一性生產(chǎn)力[t/(hm2.a)]；PER為可能蒸散率；PET為可能蒸散量(mm)；BT為年平均生物溫度(℃)；t為小于30℃與大于0℃的日均值；T為小于30℃與大于0℃的月均值。

王家驥，姚小紅等以黑河流域為例，認為利用自然植被的凈第一性生產(chǎn)力數(shù)據(jù)可以反映自然體系的生產(chǎn)能力和受內(nèi)外干擾后的恢復能力，是自然體系生態(tài)完整性維護的指示[6]。李金海分析了大陸典型生態(tài)系統(tǒng)凈第一性生產(chǎn)力的背景值，研究了確定自然系統(tǒng)最優(yōu)生態(tài)承載力的依據(jù)，并提出了提高區(qū)域生態(tài)承載力，實現(xiàn)區(qū)域可持續(xù)發(fā)展基本對策，并據(jù)此計算了河北豐寧縣的生態(tài)承載力[38]。

2.3 供需平衡法

區(qū)域生態(tài)承載力體現(xiàn)了一定時期、一定區(qū)域的生態(tài)環(huán)境系統(tǒng)，對區(qū)域社會經(jīng)濟發(fā)展和人類各種需求(生存需求、發(fā)展需求和享樂需求)在量(各種資源量)與質(zhì)(生態(tài)環(huán)境質(zhì)量)方面的滿足程度。因此，衡量區(qū)域生態(tài)環(huán)境承載力可以從該地區(qū)現(xiàn)有的各種資源量(Pi)與當前發(fā)展模式下社會經(jīng)濟對各種資源的需求量(Qi)之間的差量關(guān)系[如(Pi- Qi)/Qi]，以及該地區(qū)現(xiàn)有的生態(tài)環(huán)境質(zhì)量(CBQIi)與當前人們所需求的生態(tài)環(huán)境質(zhì)量(CBQIi)之間的差量關(guān)系[如(CBQIi)-CBQIi/CBQIi]入手[7]。如果該差值大于0，表明研究區(qū)域的生態(tài)承載力在可承載范圍內(nèi)；該差值等于0，表明研究區(qū)域的生態(tài)承載處于臨界狀態(tài)；該差值小于0，表明研究區(qū)域的生態(tài)承載力超載。該方法需要建立一套指標體系，包括社會經(jīng)濟系統(tǒng)類和生態(tài)環(huán)境系統(tǒng)類(包括環(huán)境資源與環(huán)境質(zhì)量)指標。該方法只能根據(jù)人口變化曲線求出未來年的人口數(shù)，然后分別計算其需求量，判斷該值是否在研究區(qū)域的承載力范圍之內(nèi)，而不能計算出未來年的確切承載力值；而且，該方法并不能表現(xiàn)出研究區(qū)域內(nèi)的社會經(jīng)濟發(fā)展狀況以及人類的生活水平。結(jié)合完整的指標體系，依據(jù)這種差量度量評價方法，王中根等人對西北干旱區(qū)河流進行了生態(tài)承載力評價分析，證明此方法能夠簡單、可行地對區(qū)域生態(tài)承載力進行有效的分析和與預測[39]。

2.4 狀態(tài)空間法

所謂狀態(tài)空間法，本質(zhì)上是一種時域分析方法，它不僅描述了系統(tǒng)的外部特征，而且揭示了系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)和性能。狀態(tài)空間是歐式幾何空間用于定量描述系統(tǒng)狀態(tài)的一種有效方法，通常由表示系統(tǒng)各要素狀態(tài)向量的三維狀態(tài)空間軸組成[40]。在研究生態(tài)承載力時，三維狀態(tài)空間軸分別代表人口、經(jīng)濟社會活動、區(qū)域資源環(huán)境，空間中的點為承載狀態(tài)點，不同的點表示不同情況下的承載狀態(tài)[41]。利用狀態(tài)空間法中的承載狀態(tài)點，可表示一定時間尺度內(nèi)區(qū)域的不同承載狀況。利用狀態(tài)空間中的原點同系統(tǒng)狀態(tài)點所構(gòu)成的矢量模數(shù)表示區(qū)域承載力的大小。由承載狀態(tài)點構(gòu)成承載曲面，高于承載曲面的點表示超載，低于承載曲面的點表示可載，在承載曲面上的點表示滿載。應用狀態(tài)空間法可以定量的描述和測度區(qū)域承載力及其承載狀態(tài)。近年來，狀態(tài)空間法逐步推廣并成功的運用到軍事、生物醫(yī)學、社會經(jīng)濟及人類生活等諸多領(lǐng)域，并且有廣闊的發(fā)展前景[42]。

2.5 模型預估法

隨著承載力研究的日趨深入，特別是在計算機的支持下，各種數(shù)理模型進入該領(lǐng)域，有從早期的線性規(guī)劃模型到現(xiàn)在廣泛應用的系統(tǒng)動力學模型、模糊目標規(guī)劃模型、門檻分析模型、層次分析模型，等等。如美國科學家Maclon Sleaser等提出的承載力估算的綜合資源計量技術(shù)(ECCO)是一種系統(tǒng)動力學模型的應用。應用數(shù)學模型模擬估測承載力極大地提高了承載力研究的定量化水平和精確程度，促使承載力研究的綜合與深入[43]。經(jīng)常使用的生態(tài)承載力計算模型主要有：

分類統(tǒng)計法：把研究區(qū)域內(nèi)的土地分為多種類型，每一種類型的土地假定一個最高的可支持人口密度，計算出每一種類型土地的支持人口數(shù)，然后匯總得出區(qū)域可支持的最大人口數(shù)量。

比較密度法：法國地理學家貝拉克提出。比較密度是指單位面積農(nóng)用土地上的平均人口數(shù)。農(nóng)用土地包括耕地、多年生植物和可利用草原牧場。

趨勢外推法：趨勢外推法是長期趨勢預測的主要方法。它是根據(jù)連續(xù)性原理，依據(jù)時間序列的發(fā)展趨勢，配合合適的曲線模型，對未來趨勢進行外推預測的[44]。例如：根據(jù)某區(qū)域歷年的人口數(shù)做一條人口變化曲線，利用趨勢外推法得出未來某年的人口數(shù)；或根據(jù)歷年的人口數(shù)做一條邏輯斯蒂變化曲線，根據(jù)曲線變化確定未來某年的承載力。由于人口數(shù)受到出生率和死亡率的影響，故這一方法準確性較差。而且估計出的人口數(shù)只是區(qū)域內(nèi)可能的人口數(shù)，而不是系統(tǒng)能支持的最大人口數(shù)，與生態(tài)承載力的概念不符。

限制因子法：選定區(qū)域內(nèi)生態(tài)系統(tǒng)的主要限制因素，用該限制因子來確定，一般選取糧食作為限制因子。限制因子還可以是淡水資源、土地空間、能源、綠地面積等。如果限制因子超過一個，則分別計算出可供養(yǎng)的人口數(shù)，以其中的最小值作為生態(tài)承載力的大小。有多種限制因子時，也可以歸結(jié)到一種限制因子，確定相互間的比例關(guān)系，計算求得。

線性規(guī)劃法：線性規(guī)劃中線性來源于構(gòu)造線性模型這一事實，而規(guī)劃一詞用于表示線性模型一組變量的最佳取值，它既可用于單目標規(guī)劃(極大或極小)，也可用于多目標問題求解最優(yōu)折中解。線性規(guī)劃模型的解具有重要意義，它代表問題的最佳決策和活動的最佳策略。線性模型的理想目標由決策者的希望或愿望確定，現(xiàn)實目標或約束條件可由有限的資源和其他加在決策變量選擇上明顯的或隱含的約束確定。處理具體問題時，可先根據(jù)研究的問題確定研究范圍，把其作為一個系統(tǒng)。在該系統(tǒng)中確定對系統(tǒng)的輸入、輸出有重大影響的幾個變量，由這幾個變量構(gòu)建現(xiàn)實目標或約束條件。用線性規(guī)劃法進行生態(tài)承載力的研究，可以動態(tài)的反映一個區(qū)域的生態(tài)承載力的狀況[45]。它把研究區(qū)域作為一個系統(tǒng)，以生態(tài)承載力作為最優(yōu)目標，以區(qū)域內(nèi)資源狀況、環(huán)境狀況、社會經(jīng)濟狀況、人民生活水平等作為約束條件。它依靠不同時間段區(qū)域的資源、環(huán)境、社會經(jīng)濟以及人民生活水平的不同，求得不同時間段區(qū)域生態(tài)承載力值，動態(tài)的反映區(qū)域生態(tài)承載力變化。

系統(tǒng)動力學方法：系統(tǒng)動力學(System Dynamics，簡稱SD)是麻省理工學院Jay.W.Forrester[46]教授于1956年創(chuàng)立的，其最為突出的優(yōu)點在于它能處理高階次、非線性、多重反饋、復雜時變的系統(tǒng)問題。用系統(tǒng)動力學方法進行生態(tài)承載力研究時，能比較容易地得到不同方案下的生態(tài)承載力，較真實地模擬區(qū)域資源和社會經(jīng)濟、環(huán)境協(xié)調(diào)發(fā)展狀況，模擬區(qū)域承載力的變化趨勢。目前，國內(nèi)外對承載力進行研究時多采用系統(tǒng)動力學方法。建立系統(tǒng)動力學仿真模型，一般包括以下程序：劃定系統(tǒng)邊界、劃分系統(tǒng)層次、確立指標體系、建立仿真模型、模型分析檢驗。具體步驟包括：結(jié)構(gòu)分析與繪制因果關(guān)系圖：系統(tǒng)的動態(tài)行為是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)決定的，系統(tǒng)主要變量之間的因果關(guān)系反映了系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。為研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是如何決定其功能，這里根據(jù)已確定的研究目標，經(jīng)過分析得出系統(tǒng)邊界內(nèi)系統(tǒng)主要變量之間的因果關(guān)系。建立系統(tǒng)流程圖：在因果關(guān)系圖的基礎(chǔ)上，繪制系統(tǒng)流程圖，比較直觀地反映系統(tǒng)各個變量之間的相互關(guān)系，以及對未來動態(tài)行為的影響，而且也是編制仿真程序的基礎(chǔ)。建立方程與參數(shù)確定：根據(jù)各個變量之間的關(guān)系，應用系統(tǒng)動力學仿真語言，并引入回歸分析、灰色分析等多種數(shù)學手段，建立各變量之間的關(guān)系方程。運用初步建立的計算機仿真模型，在計算機上進行模擬試驗，對照原始數(shù)據(jù)與仿真結(jié)果，對方程參數(shù)進行重新估計并修改，直到仿真結(jié)果與原始數(shù)據(jù)擬合較為滿意為止。完善模型：改變模型的有關(guān)數(shù)據(jù)，將其輸入計算機并進行模擬運行，預測分析未來的發(fā)展趨勢，尋找可行的發(fā)展方向。根據(jù)需要修改模型，建立友好的人――機界面，完善模型。系統(tǒng)動力學的特點為：①系統(tǒng)動力學方法處理復雜的大系統(tǒng)具有很多優(yōu)勢，它能清晰的反映人口、資源、環(huán)境和發(fā)展之間的關(guān)系，能較好的反映系統(tǒng)本質(zhì)和模擬系統(tǒng)的變化趨勢，它最適用于分析研究信息反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、功能與行為之間動態(tài)的辨證統(tǒng)一關(guān)系。利用SD模型可以把握系統(tǒng)各種反饋關(guān)系，將系統(tǒng)與環(huán)境、系統(tǒng)內(nèi)部各子系統(tǒng)之間相互作用的復雜關(guān)系通過一系列微分過程和函數(shù)關(guān)系加以表述，從而實現(xiàn)對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、功能乃至發(fā)展趨勢進行模擬、預測和調(diào)控[47]。②系統(tǒng)動力學方法能夠模擬各種決策方案的長期效果，并對多種方案進行比較分析而得到滿意的答案，具有優(yōu)化的同等效用。但是，這一方法需要較完備的資料才可得出可靠結(jié)論。完善生態(tài)承載力計算模型，參數(shù)的確定應更加準確。③系統(tǒng)動力學模型可作為實驗系統(tǒng)的實驗室，將模型模擬以剖析系統(tǒng)，獲取更豐富、更深刻的信息；進而覓尋解決系統(tǒng)問題的途徑。系統(tǒng)動力學解決問題的過程實際上也是尋優(yōu)的過程，其最終目的是尋求系統(tǒng)較優(yōu)或次優(yōu)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，以求得較優(yōu)的系統(tǒng)功能。因此，系統(tǒng)動力學模型能更好的為決策者提供決策的依據(jù)，在土地承載力、資源承載力、環(huán)境承載力、人口容量等方面的研究中也得到廣泛的應用。④系統(tǒng)動力學只有在與其它模型的支持下才能更好地發(fā)揮作用，如數(shù)理統(tǒng)計方法、灰色系統(tǒng)模型、計量經(jīng)濟學模型、產(chǎn)業(yè)關(guān)聯(lián)分析模型、投入產(chǎn)出模型等，也可以與線性規(guī)劃方法、非線性規(guī)劃、目標規(guī)劃、多目標規(guī)劃相結(jié)合。目前常用的系統(tǒng)動力學模型有Vensim PLE、STELLA、Ithink等，在模型編寫過程中，融入灰色模型、線性回歸、指數(shù)回歸等多種數(shù)學方法對模型涉及的變量進行預測，并通過軟件的可視化環(huán)境對模型結(jié)構(gòu)、運行參數(shù)和運行結(jié)果進行必要的修正，最終構(gòu)建起區(qū)域可持續(xù)發(fā)展的SD模擬系統(tǒng)[48]。

3 存在問題分析

生態(tài)承載力是自然體系維持和調(diào)節(jié)系統(tǒng)的能力的閾值。如果超過了這個閾值，自然體系將失去維持平衡的能力，遭到摧殘或歸于毀滅，由高一級的自然體系降為低一級的自然體系。生態(tài)承載力研究起步較晚，但生態(tài)承載力定量研究已從最初的靜態(tài)研究走向動態(tài)預測，日趨模型化。這些定量方法的成熟與完善推動著生態(tài)承載力研究日趨深入。目前，生態(tài)承載力研究呈現(xiàn)以下特點：

生態(tài)承載力研究對象趨向多元化，研究領(lǐng)域呈現(xiàn)交叉綜合趨勢。國內(nèi)外生態(tài)承載力研究實踐表明，以單要素承載力研究的局限性越來越突出，已不能適應生態(tài)系統(tǒng)資源開發(fā)與發(fā)展的要求，以系統(tǒng)的觀點，從綜合多要素角度研究生態(tài)承載力是今后生態(tài)承載力研究的方向和趨勢。而且隨著生態(tài)承載力研究的深入，生態(tài)系統(tǒng)各資源之間的相互廣義替代性研究將越來越受到重視。這就客觀上要求加強交叉綜合研究，從系統(tǒng)的角度研究生態(tài)的承載力問題。因此，生態(tài)承載力必將從單學科、單因子研究趨向多學科合作，開展人口、資源、環(huán)境、發(fā)展多因素、多層次的交叉綜合研究。

新方法、新技術(shù)手段將應用于生態(tài)承載力研究。生態(tài)系統(tǒng)的復雜性決定了其承載力研究方法和手段的復雜性。在計量分析手段上，除了系統(tǒng)動力學(SD)外多因子分析、投入――產(chǎn)出分析、資金勞動力生產(chǎn)函數(shù)、人口遷移矩陣及馬爾可夫過程都將成為主力軍?，F(xiàn)代技術(shù)如遙感(RS)、地理信息系統(tǒng)(GIS)等必將應用到承載力的研究領(lǐng)域中。遙感手段可以提供快速、準確的信息，地理信息系統(tǒng)可以對承載力進行空間分析，因此，成熟的模型分析和遙感、地理信息系統(tǒng)技術(shù)相結(jié)合的分析方法以及各種模型相結(jié)合的研究方法將對承載力的研究提供更準確、更深入、更全面的定量研究結(jié)果。

生態(tài)承載力研究將繼續(xù)向動態(tài)模擬化方向發(fā)展。生態(tài)承載力研究經(jīng)歷了從一般定性描述到定量和機制的探討，從單學科、單要素研究到多學科、多因素的綜合研究過程，越來越趨近于生態(tài)承載力問題的客觀本質(zhì)，同時也增加了研究的難度。實質(zhì)上現(xiàn)代意義上的生態(tài)承載力研究就是資源開發(fā)與區(qū)域發(fā)展戰(zhàn)略研究，它是為制定有關(guān)政策提供科學依據(jù)的。為了提高生態(tài)承載力研究的科學性與實用性，必須加強生態(tài)承載力的動態(tài)模擬研究，建立一套能反映生態(tài)承載力本質(zhì)的模型體系，實現(xiàn)對生態(tài)承載潛力的估算與動態(tài)變化過程的預測。生態(tài)承載力模型必須能反映問題的本質(zhì)，技術(shù)上可行，科學上有依據(jù)，要反映生態(tài)承載力問題的多元性、非線性、動態(tài)性、多重反饋的基本特征。同時還需要加強對生態(tài)承載能力基礎(chǔ)理論研究，即生態(tài)系統(tǒng)的復雜性理論――要素之間的復雜性研究，以給生態(tài)承載能力研究尋找新思路、新方法，找出生態(tài)的最大承載能力，為國家決策、規(guī)劃、計劃和社會協(xié)調(diào)發(fā)展提供科學依據(jù)。

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Progress in Research of Ecological Carrying Capacity

GAO Lu1，2 ZHANG-Hong-ye1

(1.Institute of Geographical Sciences and Natural Resources Research，CAS，Beijing 100101，China；

2.Graduate School of the Chinese Academy of Sciences，Beijing 100039，China)

Abstract This paper expatiates upon the Carrying Capacity's origin，evolvement and development，and states the domestic and overseas progress of Ecological Carrying Capacity.And briefly evaluating the different concepts and the research methods of ECC.The paper also put forward the direction of research in future of Ecological Carrying Capacity and indicates the research of ECC is important to sustainable development of ecosystem.